03 ，二元函数，二元函数偏导数，方向导数，梯度 ：
最新推荐文章于 2025-08-27 15:52:29 发布
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#高等数学
本文深入探讨了二元函数的几何与代数特性，包括曲面的概念、偏导数的意义及其计算方法，方向导数的理解与计算，以及梯度的形成与应用。通过实例解析，帮助读者理解多元函数在不同方向上的变化率，以及如何找到函数变化最快的方向。
1 ，二元函数 ： 几何意义
集合意义 ：一个曲面
定义域 ： D 为定义域值域 ： M 曲面
2 ，二元函数偏导数 ：几何意义
偏导数 ： 对一个变量的导数例子 ：
理解 ：
1 ，函数 z=f(x,y) 代表曲面
2 ，用 y=y0 截一下，得到一条曲线
3 ，在这条曲线上，对 x 求导，得到的依然是斜率
4 ，本质 ： 依然是线的斜率，x 偏导数是针对 x 的斜率
5 ，y 偏导数是针对 y 的斜率
3 ，二元函数偏导数 ： 代数运算
例子 ：
4 ，二元函数方向导数 ： 几何理解
方向导数 ： 多元函数沿任意方向的变化率如图 ：
5 ，二元函数方向导数 ： 代数计算
例子 ： 求曲面按照 h 向量方向的
θ ： h 向量与 x 轴的夹角方向导数 ： 两个方向上的导数的三角函数加和
Du ： 方向梯度向量形式 ：
6 ，梯度 ： 两个偏导数形成的向量
图 ：
代数式 ：
A ： ( 点 A’ 在 x 轴方向的斜率，点 A’ 在 y 轴方向的斜率 )θ ： 向量 h 与 x 轴的夹角I ： ( cosθ，sinθ )α ：向量 A 与向量 h 的夹角可见 ： 当向量 A 与向量 I ( 也就是向量 h ) 的夹角为 0 时，方向导数最大梯度 ：
1 ，向量 A 叫做函数的梯度 ( 跟两个片导数有关 )
2 ，函数在梯度的方向上变化最快变化最快 ： h 向量与 A 向量平行时，变化最快 ( 坡度最大 )